Использование и применение формул массы через плотность и объём

Физика — наука невероятно увлекательная, если разобраться, что там к чему. А формулы в ней отражают реальные физические процессы, только в цифрах. И если вы будете понимать, почему формула именно такова, то учиться будет много легче. Но все сразу рассказать невозможно, и сегодня мы разберемся, как произвести нахождение массы через плотность и объём.

Прежде, чем приступить к изучению формул массы, плотности и объёма, следует уточнить некоторые детали:

Во-первых, объём вещества зависит от температуры. При нагревании твёрдое вещество расширяется, при низкой температуре уменьшается. Есть также особые моменты, как в случае с жидким водородом. Он не может существовать при высокой температуре, потому что превратится в газ.
Во-вторых, разные организации и страны имеют свои стандарты условий, при которых проводятся измерения. Иными словами, числовой показатель плотности одного и того же вещества в разных странах будет отличаться. Поэтому, прежде чем утверждать, что показатели неверные или правильные, следует уточнить условия, при которых эти показатели были получены.
В-третьих, помимо температуры, на фактор объёма могут влиять и такие показатели, как атмосферное давление. Оно особо важно при измерении плотности газов, так как на твёрдые вещества это практически не влияет.

Формула и удивительная история её возникновения

Самая обычная формула для большинства случаев имеет вид: m = pV , где m – масса тела, p и V – плотность вещества и его объём, занимаемый в пространстве соответственно. Можно, конечно, не заморачиваться и посчитать всё на онлайн-ресурсах, но знать формулу всё же полезно. Соответственно V = m / p , p = m / V .

Самое интересное – это то, что формулу нашёл мужик, который бегал голышом по улице и был при этом другом царя. Интересно? Тогда следующие три абзаца для вас.

Был в Древней Греции такой царь-тиран, как Гиерон II. Он начал подозревать, что его корону сделали не из чистого золота и ювелиры его облапошили. Но Гиерон не знал, как можно это доказать. Тогда он обратился к умнейшему человеку того времени – Архимеду. Получив приказ разобраться с делами государственной важности, Архимед день за днём стал искать решение вопроса.

Ох, и нелёгкая же задачка выпала учёному. Ведь на то время не было ни нужных формул, ни современных девайсов, ни гугла, чтобы быстренько найти решение. И вот однажды, придя в баню и погрузившись в неё, Архимед заметил, что выливающаяся вода равна по объёму тому, что погружено в воду.

Эврика! – Прокричал Архимед и нагишом поспешил в свою лабораторию проводить опыты. Учёный сложил все данные в своей голове и позже проделал следующий опыт: он взял корону и опустил её в воду. Затем он взял кусок золота такого же веса и опустил его также в воду. Объём вытесненной воды получился разным. Если бы корона была сделана из чистого золота, то её объём и слитка совпали. Это доказывало то, что ювелиры обманули царя. Кто бы мог подумать, что одно из величайших открытий появилось благодаря обманщикам, тирану и учёному.

Таблица плотности некоторых веществ

Плотность многих веществ известна заранее и легко находится по соответствующей таблице.

В работе с ней важно обращать внимание на размерности и не забывать о том, что все данные собраны при нормальных условиях: комнатной температуре в 20 градусов Цельсия, а также определенном давлении, влажности воздуха и так далее.

Плотности других, более редких веществ можно найти онлайн.

Как минимум одно из значений плотности стоит запомнить, так как оно часто появляется в задачах. Это плотность воды – 1000 кг/м3 или 1 г/см3.

Обозначения и термины

Далее будет приведён список понятий и их определение в условиях понятий об измерениях плотности:

Масса – плотность тела, помноженная на его объём, занимаемый в пространстве. Это также величина, определяющая силу воздействия гравитационного поля на объект.
Объём – физическая величина, характеризующая количество пространства, занимаемое объектом.
Плотность определяет то, какое количество вещества умещается в объёме при определённом весе в стандартных условиях.
Нормальные/стандартные условия в разных организациях имеют свои значения. К таким условиям относятся температура окружающей среды, атмосферное давление и в отдельных случаях прочие параметры.
Атмосферное давление – понятие, применяемое больше для газов, так как на их объём имеет большое влияние, нежели на твёрдые вещества. Атмосферное давление можно определить как силу, с которой воздействует воздух на Землю под действием гравитационного поля.
Температура – физический показатель степени нагрева вещества. Чем больше температура, тем больше объём тела.

Формула зависимости массы от объема и плотности

Для того, чтобы найти плотность жидкости или твердого вещества, существует базовая формула: плотность равна массе, поделенной на объем.

Записывается это так:

И из нее можно вывести еще две формулы.

Формулу для объема тела:

А также формулу для расчета массы:

Как видите, запомнить последнюю очень легко: это единственная формула, где две единицы нужно умножить.

Для запоминания этой зависимости можно использовать рисунок в виде «пирамидки», разделенной на три секции, в вершине которой находится масса, а в нижних углах – плотность и объем.

Несколько иначе обстоят дела с газами.

Рассчитать их вес гораздо сложнее, так как у газов нет постоянной плотности: они рассеиваются и занимают весь доступный им объем.

Для этого пригодится понятие молярной массы, которую можно найти, сложив массу всех атомов в формуле вещества при помощи данных из периодической таблицы.

Вторая единица, которая нам понадобится – количество вещества в молях. Его можно вычислить по уравнению реакции. Подробнее об этом можно узнать в рамках курса химии.

Другой способ нахождения мольного количества – через объем газа, который нужно поделить на 22,4 литра. Последнее число – это объемная постоянная, которую стоит запомнить.

В итоге, зная две предыдущие величины, мы можем определить массу газа:

где M – это молярная масса, а n – количество вещества.

Результат получится в граммах, поэтому для решения физических задач важно не забыть перевести его в килограммы, поделив на 1000. Числа в этой формуле часто могут оказываться достаточно сложными, поэтому для вычислений может понадобиться калькулятор.

Еще один нестандартный случай, с которым можно столкнуться – необходимость найти плотность раствора

. Для этого существует формула средней плотности, построенная аналогично формулам других средних величин.

Для двух веществ посчитать ее можно так:

Также из этой формулы можно вывести несколько других в зависимости от того, какие из величин известны по условию задачи.

Примеры решения задач

Прежде чем приступить к примерам, следует понимать, что если данные даны в килограммах и кубических сантиметрах, то нужно либо сантиметры перевести в метры, либо килограммы перевести в граммы. По такому же принципу надо переводить и остальные данные – миллиметры, тонны и так далее.

Задача 1. Найти массу тела, состоящего из вещества, плотность которого равна 2350 кг/м³ и имеет объём 20 м³. Применяем стандартную формулу и с лёгкостью находим значение. m = p*V= 2 350 * 20 = 47 000 кг.

Задача 2. Уже известно, что плотность чистого золота без примесей равна 19,32 г/см³. Найти массу драгоценной цепочки из золота, если объём составляет 3,7 см³. Воспользуемся формулой и подставим значения. p = m / V = 19,32/3,7 = 5,22162162 гр.

Задача 3. На склад поставили металл с плотностью 9250 кг/м³. Масса составляет 1,420 тонн. Нужно найти занимаемый металлом объём. Тут нужно сначала перевести либо тонны в килограммы, либо метры в километры. Проще будет воспользоваться первым методом. V = m / p = 1420/9250 = 0.153513514 м³.

Масса сплошной детали

Главная > Вычисление масс > Масса сплошной детали

9.05.2013 // Владимир Трунов

Это странное название статьи объясняется только тем, что детали одной и той же формы могут быть как сплошными, так и полыми (т.е. следующая статья будет называться «Масса полой детали»).

Тут самое время вспомнить, что масса тела — это его объем , умноженный на плотность его материала (см. таблицы плотностей): Объем сплошной детали — это… ее объем и больше ничего.

Примечание. В приведенных ниже формулах все размеры измеряются в миллиметрах, а плотность — в граммах на кубический сантиметр. Буквой обозначено отношение длины окружности к ее диаметру, составляющее примерно 3,14.

Рассмотрим несколько простых форм (более сложные, как вы помните, можно составить путем сложения или вычитания простых).

Масса параллелепипеда (бруска)

Объем параллелепипеда: , где — длина, — ширина, — высота. Тогда масса:

Масса цилиндра

Объем цилиндра: , где — диаметр основания, — высота цилиндра. Тогда масса:

Масса шара

Объем шара: , где — диаметр шара. Тогда масса:

Масса сегмента шара

Объем сегмента шара: , где — диаметр основания сегмента, — высота сегмента. Тогда масса:

Масса конуса

Объем любого конуса: , где — площадь основания, — высота конуса. Для круглого конуса: , где — диаметр основания, — высота конуса. Масса круглого конуса:

Масса усеченного конуса

Поскольку невозможно объять необъятное, рассмотрим только круглый усеченный конус. Его объем — это разность объемов двух вложенных конусов: с основаниями и : , где , . После никому не интересных алгебраических преобразований получаем: , где — диаметр большего основания, — диаметр меньшего основания, — высота усеченного конуса. Отсюда масса:

Масса пирамиды

Объем любой пирамиды равен одной трети произведения площади ее основания на высоту (то же самое, что и для конусов (часто мы не замечаем, насколько мироздание к нам благосклонно)): , где — площадь основания, — высота пирамиды. Для пирамиды с прямоугольным основанием: , где — ширина, — длина, — высота пирамиды. Тогда масса пирамиды:

Масса усеченной пирамиды

Рассмотрим усеченную пирамиду с прямоугольным основанием. Ее объем — это разность объемов двух подобных пирамид с основаниями и : , где , . Исчеркав половину тетрадного листа, получаем: , где , — ширина и длина большего основания, , — ширина и длина меньшего основания, — высота пирамиды. И, оставив в покое остальную половину листа, исходя из одних соображений симметрии, мы можем написать еще одну формулу, которая отличается от предыдущей только заменой W на L и наоборот. В чем разница между длиной и шириной? Только в том, что мы их так назвали. Назовем наоборот и получим: . Тогда масса усеченной прямоугольной пирамиды:

или

Для пирамиды с квадратным основанием (, ) формула выглядит проще:

вычисление массы

Зачем и кому нужно знать эти формулы

В любой стране есть стандарты, по которым производится продукция. Неважно, какая это отрасль – пищевая, химическая или другая. Стандарты также могут быть мировыми. Так вот для того чтобы выпускаемая на заводах продукция соответствовала этим стандартам и нужны знания о плотности, массе и объёме.

Но зачем кому-то придерживаться чьих-то правил? Для начала, эти правила взяты не с потолка. К этому пришли разные бизнесмены со всего мира и нашли оптимальное решение, удовлетворяющее как производителей, так и конечных пользователей продукта. Если бы все выпускали продукцию как им вздумается, то людям было бы очень тяжело выбрать производителя. Ведь даже сейчас, со всеми стандартами и ГОСТами выбор просто огромный.

Кроме того, игнорируя физику и математику, можно выработать продукцию себе же в убыток или сделать продукцию, которая не оправдает ожиданий и будет выглядеть не так, как задумывал производитель. Есть и другие ситуации, где необходимы знания подобного рода – при подсчёте планируемого объёма, который займёт продукция на складе; вес продукции, которую нужно будет перевести и т.д.

Эти знания могут потребоваться инженерам, технологам, конструкторам и прочим профессиям, чья деятельность связана с физическими материалами. Конечно, для простого обывателя эти знания могут и не пригодиться. Однако, стоит вспомнить про случай с Архимедом и тогда вы поймёте, что знания – защита от обмана и настоящая сила!

Формула зависимости массы от объема и плотности

Записывается это так:

И из нее можно вывести еще две формулы.

Формулу для объема тела:

А также формулу для расчета массы:

Как видите, запомнить последнюю очень легко: это единственная формула, где две единицы нужно умножить.

Несколько иначе обстоят дела с газами.

В итоге, зная две предыдущие величины, мы можем определить массу газа:

где M – это молярная масса, а n – количество вещества.

Еще один нестандартный случай, с которым можно столкнуться – необходимость найти плотность раствора

. Для этого существует формула средней плотности, построенная аналогично формулам других средних величин.

Для двух веществ посчитать ее можно так:

Расчет объема тела по его плотности

Подобным образом выразим из формулы плотности объем:

$$V = \frac{m}{\rho}$$

Чтобы рассчитать объем тела, если известны его масса и плотность, нужно массу разделить на плотность.

Данной формулой для определения объема часто пользуются в тех случаях, когда тела имеют сложную неправильную форму.

Рассмотрим пример задачи на расчет объема. Молоко в бутылке имеет массу 1,03 кг. Рассчитайте объем бутылки.

В таблице 2 прошлого параграфа находим молоко: его плотность равна $1030 \frac{кг}{м^3}$.

Дано: $\rho = 1030 \frac{кг}{м^3}$ $m = 1,03 кг$

Найти: $V -?$

Решение: $V = \frac{m}{\rho}$ $V = \frac{1,03 кг}{1030 \frac{кг}{м^3}} = 0,001 м^3 = 1 л$

Ответ: $V = 0,001 м^3 = 1 л$.

Таблица плотности некоторых веществ

Плотность многих веществ известна заранее и легко находится по соответствующей таблице.

Плотности других, более редких веществ можно найти онлайн.

Как найти массу по размеру?

Массу

тела можно рассчитать по формуле m=ρ*V, где V-объем тела, ρ=7.87 г/см^3 — плотность железа. Затем определим
массу
листа: m=7.87*1400=11018 г = 11.018 кг.

Интересные материалы:

Сколько должен быть pH слюны? Сколько должен быть pH в бассейне? Сколько должен быть проем для лестницы на второй этаж? Сколько должен сохнуть первый слой шпаклевки? Сколько должен сохнуть Собранный чеснок? Сколько должна быть высота потолка в квартире? Сколько должна быть высота школьного стола? Сколько должна гореть Фитолампа? Сколько должна лежать картошка после выкопки? Сколько должна весить баранья нога?

Что такое объемный вес перевозимых грузов?

Как известно, физическая плотность различна у твердых и жидких веществ. В связи с этим товары, которые имеют одинаковый вес, но различный объем могут занимать различное пространство в кузове транспортного средства. За эталонную единицу считают дистиллированную воду: 1 кубический метр равен весу в 1 тонну.

В морских перевозках, в первую очередь, принимают во внимание объем транспортируемого груза. А в авиаперевозках, наоборот, важен вес перевозимых изделий. Что касается автомобильных перевозок, то здесь необходимо принимать во внимание оба показателя.

В международных грузоперевозках довольно часто можно встретить такой термин, как «Stowage Factor», что переводится как коэффициент укладки.

Согласно данному признаку все грузы можно разделить на несколько групп:

объемные ( коэффициент 1,3-2 единиц, при этом тонна веса занимает не больше 2 куб.м объема);
тяжелые (с коэффициентом менее 1);
дедвейтные (коэффициент около 1).

Согласно данной классификации объемный вес зерна (пшеницы) имеет коэффициент 1,66 (1 куб.м. с весом 660 кг) относят к категории объемных грузов, в то время как железная руда, имеющая коэффициент 0,33, относят к тяжелым грузам.

При расчетах расположения тар, в которых перевозят изделия, иногда берут в расчет такой показатель как «погрузочный метр». Поскольку ширина большегруза не превышает 2,4 м, то под вышеназванным термином понимают метр длины большегруза, площадь которого находится в пределах 2,4 кв.м.

Как сосчитать большое количество мелких предметов

Иногда нужно быстро сосчитать большое количество мелких предметов, например, саморезов или канцелярских скрепок в упаковке. Как быстро, легко и удобно это сделать

Считаем по весу

Легче всего посчитать мелкие предметы с помощью весов. Отсчитываем один десяток предметов, взвешиваем десяток – так получаем вес одного десятка предметов. После этого нужно взвесить полную упаковку предметов. Разделив значение общей массы на массу одного десятка можно найти количество десятков предметов в упаковке.

Например, десяток предметов весит 52 грамма, а общая масса упаковки равняется 754 граммам. Если 754 разделить на 52, то получим 14,5. Значит в упаковке 14 с половиной десятков предметов, то есть 145 штук.

Считаем без весов, поштучно

Но что делать, если весов под рукой не оказалось? Как посчитать количество предметов в таком случае?

Если предметов не очень много, то это не слишком сложно. До двух-трех сотен посчитать может каждый взрослый.

Но что делать, если предметов очень много, а время не ждет?

В этом случае поможет один нехитрый способ. Идея заключается в том, чтобы отсчитывать по десять предметов, но перекладывать из упаковки в подходящую емкость только девять предметов. А каждый десятый складывать отдельно, не важно – в отдельную коробку или просто на стол, главное – отдельно.

Когда все предметы из упаковки извлечены, осталось подсчитать каждый десятый предмет, которые лежат отдельно. Сколько десятых предметов – столько и десятков предметов в упаковке. Так можно легко подсчитать несколько сотен предметов.

Например, все предметы пересчитаны, и вышло 54, отложенных десятыми предметов, а в упаковке еще 8. Значит, 54 десятка предметов – это 540. К 540 прибавляем еще 8, оставшихся в упаковке предметов, и получаем общее количество – 548.

В случае если предметов больше тысячи, можно и десятые предметы перекладывать по девять, а десятые складывать отдельно. В результате такого двойного круга подсчета, каждый десятый предмет будет означать уже сотни. Так можно подсчитать даже несколько тысяч предметов.

Например, все предметы из упаковки пересчитаны, осталось в упаковке 7 предметов. Тех предметов, что были отложены десятыми оказалось очень много. Теперь нужно эти десятые предметы посчитать по той же системе, что и единичные предметы. Девять складываем в упаковку, а десятый оставляем отдельно. И вышло таких оставленных отдельно предметов, которые означают уже сотни 32 штуки, и осталось еще 5.

Теперь считаем общее количество. 32х100=3200, остаток десятых предметов умножаем на 10 (5х10=50) и получаем 50. В упаковке есть еще остаток – 7 предметов. Все складываем (3200+50+7) и получаем общее количество предметов – 3257.

Применив такой нехитрый метод, можно с большой точностью посчитать количество предметов, даже если под рукой нет карандаша для записей или весов.