Пружинный маятник — формулы и уравнения нахождения величин

Пружинный маятник — колебательная система, которая состоит из тела, подвешенного к пружине. Эта система способна к совершению свободных колебаний.

Подобные системы довольно широко распространены за счет своей функциональной гибкости. Механизмы на основе таких маятников часто используются как элементы средств автоматики.

В том числе они нашли применение в контактных взрывателях различных боеприпасов, в качестве акселерометров в контурах управления ракет. Так же они активно используются в предохранительных клапанах, устанавливаемых в трубопроводах.

Что такое пружинный маятник

Пружинным маятником в физике называют систему, совершающую колебательные движения под действием силы упругости.

Приняты следующие обозначения:

• m — масса тела;
• k — коэффициент жесткости пружины.

Общий вид маятника:

Особенностями пружинных маятников являются:

1. Сочетание тела и пружины.

   Массой пружины обычно в расчетах пренебрегают. Роль тела могут играть различные объекты. На них оказывают действие внешние силы. Груз может крепиться разными способами. Витки пружины, которыми она начинается и заканчивается, изготавливают с учетом повышенной нагрузки;

2. У любой пружины есть исходное положение, предел сжатия и растяжения.

   При максимальном сжатии зазора между витками нет. Когда она максимально растянута, возникает необратимая деформация;

3. Полная механическая энергия появляется с началом процесса обратимого деформирования.

   В этот момент на объект не оказывает действие сила упругости;

4. Колебательные движения происходят под влиянием силы упругости.

   Масштаб влияния определяется несколькими причинами (тип сплава, расположение витков и т. д.). Так как может происходить и сжатие и растяжение, можно сделать вывод, что сила упругости действует в двух противоположных направлениях;

5. От массы тела, величины и направления прикладываемой силы зависит скорость в плоскости его перемещения.

   Например, если подвесить груз к пружине и, растянув её, отпустить, то груз будет перемещаться в двух плоскостях: вертикально и горизонтально.

Контрольные вопросы

Что называется деформацией? Какие деформации называются упругими? Приведите примеры упругих деформаций.

Какова физическая сущность упругих сил?

Сформулируйте закон Гука? Когда он справедлив?

Дайте объяснение качественной диаграмме напряжений. Что такое предел пропорциональности, упругости и прочности?

Что такое упругий гистерезис и упругое последействие?

Каков физический смысл модуля Юнга и модуля сдвига?

Что такое упругое последействие?

Выведите выражения для деформаций при всестороннем растяжении.

Что называется коэффициентом Пуассона?

Определите энергию деформированного тела.

Что называется плотностью упругой энергии? Получите формулы этой энергии при растяжении и сдвиге.

А. mv²/2 Б.mv В.mgh Г. kx²/2 2. Каково наименование единицы кинетической энергии, выраженное через основные единицы Международной системы? А.1кг·м Б.1 кг·м/с В.1кг·м²/с Г.1кг·м²/с² 3. Чему равна кинетическая энергия тела массой 3 кг, движущегося со скоростью 4 м/с?

Читать также: Почему стиральная машинка сильно вибрирует при отжиме

А. 6 Дж. Б. 12 Дж. В.24Дж. Г.48Дж.

4. Как изменится потенциальная энергия упруго деформированного тела при увеличении его деформации в три раза?

À. Не изменится. Б. Увеличится в 3 раза. . Увеличится в 9 раз. Г. Увеличится в 27 раз.

Два автомобиля с одинаковыми массами m движутся со скоростями v и 3v относительно Земли в одном направлении. Чему равна кинетическая энергия второго автомобиля в системе отсчета, связанной с первым автомобилем?

А.mv² Б.2mv² В.3mv² Г.4mv² 6.Каково наименование единицы работы, выраженное через основные единицы Международной системы? А.1кг Б.1кг·м/с В.1кг·м/с² Г.1кг·м²/с² 7.По какой формуле следует рассчитывать работу си­лы F, если между направлением силы и перемещения S угол a ? А.(F/S)·cosα Б.F·S·sinα В.F·S·cosα Г.(F·S)·sinα

9. Тело массой 1 кг силой 30 Н поднимается на высо­ту 5 м. Чему равна работа этой силы?

А .0 Дж. Б. 50 Дж. В. 100 Дж. Г. 150 Дж.

Кинетическая энергия тела в момент бросания равна 200 Дж. Определите, до какой высоты от поверхности земли может подняться тело, если его масса равна 500 г.

Башенный кран поднимает бетонную плиту массой 2 т на высоту 15 м. Чему равна работа силы тяжести, действующей на плиту?

Виды пружинных маятников

Существует два типа данной системы:

1. Вертикальный

   маятник — на тело довольно сильно влияет сила тяжести. Это влияние обуславливает увеличение инерционных движений, которые совершает тело в исходной точке.

2. Горизонтальный

   — в таком варианте при движении на груз начинает действовать сила трения, возникающая по причине того, что груз лежит на поверхности.

Сила упругости в пружинном маятнике

До начала деформирования пружина находится в равновесном состоянии. Прикладываемое усилие может как растягивать, так и сжимать её.

Применяя к пружинному маятнику закон сохранения энергии, мы можем рассчитать силу упругости в нем. Упругость прямо пропорциональна расстоянию, на которое сместился груз.

Расчёт силы упругости может быть проведен таким образом:

Fупр
= — k*x
где k — коэффициент жесткости пружины (Н\м),

x – смещение (м).

Уравнения колебаний пружинного маятника

Свободные колебания пружинного маятника описываются с помощью гармонического закона.

Если допустить вероятность того, что колебания идут вдоль оси Х, и при этом выполняется закон Гука, то уравнение примет вид:

F(t) = ma(t) = — mw2x(t),

где w — радиальная частота гармонического колебания.

Для проведения расчета колебаний, учитывая все вероятности, применяют следующие формулы:

Вопрос 5

Текст вопроса

Конденсатор колебательного контура заряжают от источника постоянного напряжения, а затем замыкают на ка­тушки с различными индуктивностями: L 1, L 2, L 3. Подберите во втором столбце таблицы слова, правильно характеризующие из­менения параметров гармонических колебаний в колебательном контуре при уменьшении индуктивности катушек в таких опытах

Читать также: Металлы с низкой теплопроводностью

Для каждой величины определите соответствующий характер изменения:

Запишите в таблицу выбранные цифры для каждой физиче­ской величины. Цифры в ответе могут повторяться.

Период и частота свободных колебаний пружинного маятника

При разработке проектов всегда определяется период колебаний и их частота. Для их измерения используются известные в физике формулы.

Изменение циклической частоты покажет формула, приведенная на рисунке:

Факторы, от которых зависит частота:

1. Коэффициент упругости.

   На этот коэффициент влияет количество витков, их диаметр, расстояние между ними, длина пружины, жесткость используемого сплава и т. д.

   Читайте также:  "Назначение и сущность процесса разметки. Инструменты для выполнения разметки."
2. Масса груза.

   От этого фактора зависит возникающая инерция и скорость перемещения.

Момент силы и момент импульса относительно оси

Рассмотрение деформации пружины проводится также с учетом момента силы и импульса относительно оси. Эти два параметра позволяют рассчитать все требуемые показатели с более высокой точностью. Довольно распространенным вопросом можно назвать чему равен момент силы – векторная величина, которая определяется векторному произведению радиуса на вектор приложенной силы.

Момент импульса – величина, которая применяется для определения количества вращательного движения.

Среди особенностей подобного показателя можно отметить следующее:

1. Масса вращения. Объект может характеризоваться различной массой.
2. Распределение относительно оси. Ось может быть расположена на различном расстоянии от самого объекта.
3. Скорость вращения. Это свойство считается наиболее важным, в зависимости от конструкции он может быть постоянным или изменяться.

Расчет каждого показателя проводится при применении соответствующей формулы. В некоторых случаях проводится измерение требуемых вводных данных, без которых провести вычисления не получится.

Энергия пружинного маятника

При рассмотрении колебания тел учитывают, что груз движется прямолинейно. Полная механическая энергия тела в каждой точке траектории является константой и равняется сумме его потенциальной энергии и кинетической энергии.

Потенциальная энергия:

Кинетическая энергия:

Полная энергия:

Расчет имеет особенности. При его проведении нужно учитывать несколько условий:

1. Колебания проходят в двух плоскостях: вертикальной и горизонтальной.
2. В качестве равновесного положения выбирается ноль потенциальной энергии. Находясь в этом положении пружина сохраняет свою форму.
3. Влияние силы трения при расчете не учитывают.

Потенциальная энергия пружины и кинетическая – что это, какая формула?

Во многих механизмах используется потенциальная и кинетическая энергия пружины. Их используют для выполнения различных действий. В отдельных узлах они фиксируют детали в определенном положении, не позволяя смещать в какую-либо сторону (барабан револьвера относительно корпуса). Другие пружинные системы возвращают исполнительный механизм в исходное положение (курок ручного огнестрельного оружия). Есть устройства, где узлы с гибкими свойствами совершают перемещения в устойчивое положение (механические стабилизаторы).

Работа связана с изменением геометрических параметров упругого тела. Прилагая нагрузку, заставляют эластичную деталь сжиматься (растягиваться или изгибаться). При этом наблюдается запасание энергии. Возвратное действие сопровождается набором скорости. Попутно возрастает кинетическая энергия.

Рассматривая в качестве накопителя энергии пружину, следует отметить ее отличительные свойства от иных физических тел, которые могут накапливать энергетический потенциал. Традиционно понимается следующее: для накопления потенциала для последующего движения необходимо совершение движения в силовом поле:

Еп = F ⋅ l, Дж (Н·м),

где Еп- потенциальная энергия положения, Дж;

F — сила, действующая на тело, Н;

l — величина перемещения в силовом поле, м.

Энергия (работа) измеряются в Джоулях. Величина представляет произведение силы (Н) на величину перемещения (м).

Если рассматривать условие в поле тяготения, то величина силы находится произведением ускорения свободного падения на массу. Здесь сила веса находится с учетом g:

Еп = G ⋅ h = m ⋅ g ⋅ h, Дж

здесь G — вес тела, Н;

m — масса тела, кг;

g — ускорение свободного падения. На Земле эта величина составляет g = 9,81 м/с².

Если расстраивается пружина, то силу F нужно определять, как величину, пропорциональную перемещению:

F = K ⋅ x, Н,

где k — модуль упругости, Н/м;

х — перемещение при сжатии, м.

Величина сжатия может изменяться по величине, поэтому математики предложили анализировать подобные явления с помощью бесконечно малых величин (dx) .

При наличии непостоянной силы, зависящей от перемещения, дифференциальное уравнение запишется в виде:

dEп = k ⋅ x ⋅ dx

здесь dEп — элементарная работа, Дж;

dx — элементарное приращение сжатия, Н.

Интегральное уравнение на конечном перемещении запишется в виде. Ниже вывод формулы:

Пределами интегрирования является интервал от 0 до х. Деформированная пружина приобретает запас по энергетическим показателям

Окончательно формула для расчета величины потенциальной энергии сжатия (растягивания или изгиба) пружины запишется формулой: