Формула площади поверхности кругового цилиндра
S осн = 2 ⋅ π ⋅ r 2 S_{\text{осн}}=2\cdot\pi\cdot r^2 Sосн=2⋅π⋅r2
S бок = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h S_{\text{бок}}=2\cdot\pi\cdot r\cdot h Sбок=2⋅π⋅r⋅h
r r r — радиус круга (основания кругового цилиндра); h h h — высота этого цилиндра.
Сокращенно, это формулу можно записать так:
S = S осн + S бок = 2 ⋅ π ⋅ r 2 + 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ ( r + h ) S=S_{\text{осн}}+S_{\text{бок}}=2\cdot\pi\cdot r^2+2\cdot\pi\cdot r\cdot h=2\cdot\pi\cdot r\cdot(r+h) S=Sосн+Sбок=2⋅π⋅r2+2⋅π⋅r⋅h=2⋅π⋅r⋅(r+h)
Пример
Радиус круга, лежащего в основании прямого кругового цилиндра, имеет длину 6 (см.). Высота цилиндра – 20 (см.). Найдите полную площадь его поверхности.
Решение:
r = 6 r=6 r=6 h = 20 h=20 h=20
По формуле:
S = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ ( r + h ) = 2 ⋅ π ⋅ 6 ⋅ ( 6 + 20 ) ≈ 979 , 68 S=2\cdot\pi\cdot r\cdot(r+h)=2\cdot\pi\cdot 6\cdot(6+20)\approx979,68 S=2⋅π⋅r⋅(r+h)=2⋅π⋅6⋅(6+20)≈979,68 (см. кв.)
Ответ: 979,68 см. кв.
Область применения
Круг — одна из фундаментальных фигур, которые окружают человека повсюду. Трубы, колеса, лампы, конфорки у плиты — всё это имеет форму круга или поперечное сечение в виде круга. Расчёт площади такого сечения может понадобиться в следующих ситуациях:
- Определение объемов емкостей.
- Решение задач по сопротивлению материалов и электротехнике.
- Расчет количества материалов при проектировании, строительстве и ремонте.
- Ведение поливного земледелия.
Стоит обратить внимание на разницу между кругом и окружностью. Окружность — это замкнутая кривая, все точки которой равно удалены от центра, в то время как круг — это часть плоскости (геометрическая фигура), ограниченная окружностью.
Круг имеет ряд характеристик:
- радиус (r/R) — отрезок, соединяющий центр фигуры с его границей;
- диаметр (d/D) — отрезок, который соединяет две точки границы круга и проходит через его центр;
- длина окружности (C/c/L/l).
Теорема гласит: площадь круга (S) равна произведению половины длины окружности и его радиуса. Длина окружности С находится в прямой зависимости от радиуса R с коэффициентом π («пи» = 3,14).
Виды цилиндра
Виды цилиндра зависят от того, под каким углом пересекаются образующие и основания нашего тела.
Если угол равен 90 градусам, то получим, так называемый, прямой цилиндр. У него есть ось симметрии – это перпендикуляр, соединяющий центры его оснований.
Если угол другой, то цилиндр называется наклонным.
Если форма основания – гипербола, то цилиндр гиперболический, если парабола — параболический, если эллипс — эллиптический, если круг — круговой.
Если основания цилиндра не параллельны, то он называется косым.
Формулы и калькулятор для вычисления объема цилиндра через диаметр основания
d — диаметр основания цилиндра
h — высота цилиндра
… вычисление …
… вычисление …
… вычисление …
… вычисление …
Область применения
Круг — одна из фундаментальных фигур, которые окружают человека повсюду. Трубы, колеса, лампы, конфорки у плиты — всё это имеет форму круга или поперечное сечение в виде круга. Расчёт площади такого сечения может понадобиться в следующих ситуациях:
- Определение объемов емкостей.
- Решение задач по сопротивлению материалов и электротехнике.
- Расчет количества материалов при проектировании, строительстве и ремонте.
- Ведение поливного земледелия.
Стоит обратить внимание на разницу между кругом и окружностью. Окружность — это замкнутая кривая, все точки которой равно удалены от центра, в то время как круг — это часть плоскости (геометрическая фигура), ограниченная окружностью.
Круг имеет ряд характеристик:
- радиус (r/R) — отрезок, соединяющий центр фигуры с его границей;
- диаметр (d/D) — отрезок, который соединяет две точки границы круга и проходит через его центр;
- длина окружности (C/c/L/l).
Теорема гласит: площадь круга (S) равна произведению половины длины окружности и его радиуса. Длина окружности С находится в прямой зависимости от радиуса R с коэффициентом π («пи» = 3,14).
Стереометрия. Площадь сечения через площадь проекции сечения.
Если сечение сложной формы, то не стоит пытаться найти его площадь “в лоб”. Умный гору обойдет… И мы обойдем: определим площадь проекции сечения (обычно это очень просто) и угол наклона плоскости сечения к плоскости основания. Потом воспользуемся известной формулой. Но об этом – дальше.
Задача 1. В прямоугольном параллелепипеде с ребрами ‚ и точки и -середины ребер и соответственно. Плоскость пересекает ребро в точке .
а) Докажите, что ;
б) Найдите площадь сечения этого параллелепипеда плоскостью .
Рисунок 1 – к задаче 1
Построим сечение. Построим прямую – ведь точки и принадлежат одной грани. Построим прямую и найдем точку пересечения прямой и прямой – точку .
Рисунок 2 – к задаче 1
Эта точка принадлежит как плоскости грани , так и плоскости грани . Проведем прямую и определим точку пересечения этой прямой с ребром – точку .
Рисунок 3 – к задаче 1
Построим линии, по которым сечение «режет» грани параллелепипеда: .
Рисунок 4 – к задаче 1
Теперь построим прямую и определим точку ее пересечения с прямой – точка пересечения лежит в плоскости верхней грани, и это позволяет соединить ее с точкой . Теперь найдем место пересечения отрезка с ребром – точку , и можно обводить и штриховать сечение:
Рисунок 5 – к задаче 1
Докажем пункт а). Рассмотрим треугольники и . Они подобны, так как образованы параллельными прямыми: . Так как , то коэффициент подобия этих треугольников – . Тогда . Так как треугольники и также подобны с коэффициентом , то . Но треугольники и равны по 2 признаку, следовательно, , или , то есть .
б) Определим площадь сечения. Для этого можно определить площадь проекции этого сечения, и косинус угла между плоскостью и основанием параллелепипеда. Сначала найдем площадь проекции. Отрежем два треугольника от основания параллелепипеда, тогда оставшееся – и есть площадь проекции (многоугольник – выделено голубым цветом).
Рисунок 6 – к задаче 1
Площадь основания параллелепипеда равна 12, отрезаем треугольник : по условию, по доказанному отношению из пункта а). Следовательно,
Отрезаем треугольник : по условию, по доказанному отношению из пункта а). Следовательно,
Тогда площадь проекции равна
Теперь найдем угол наклона плоскости сечения к плоскости основания, вернее, его косинус. Нужно найти косинус угла – или любую другую тригонометрическую функцию – угла . Рассмотрим треугольник . Он прямоугольный, катет (равен высоте параллелепипеда). Длина отрезка может быть найдена из треугольника :
По ранее доказанному , .
Тогда
Площадь сечения равна
Ответ: .
Задача 2. В правильной четырехугольной призме сторона основания равна 6, а боковое ребро равно . На ребрах и отмечены точки и соответственно, причем .
а) Пусть – точка пересечения плоскости с ребром . Докажите, что – квадрат;
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью .
Рисунок 1 – к задаче 2
Проведем прямую и через точку – параллельную ей прямую, так как плоскость сечет противоположные грани параллелепипеда (прямой призмы) по параллельным прямым:
Рисунок 2 – к задаче 2
Найдем точку пересечения прямой и – точку . Эта точка принадлежит плоскости грани . Поэтому ее можно соединить с точкой отрезком, который пересечет ребро в точке . Найдем точку пересечения прямой и – точку . Эта точка принадлежит плоскости грани . Поэтому ее можно соединить с точкой отрезком, который пересечет ребро в точке .
Рисунок 3 – к задаче 2
Рисунок 4 – к задаче 2
Соединяя точки , , , , , , получим искомое сечение.
Докажем, что – квадрат.
Рисунок 5 – к задаче 2
Так как отрезки и принадлежат одной плоскости (плоскости сечения) и одновременно параллельным плоскостям верхнего и нижнего оснований призмы, то они параллельны. Также .
и – диагонали прямых правильных призм со стороной основания 1 и высотой . Тогда
Получается, – как минимум, ромб. И по признаку параллелограмма, так как противоположные стороны попарно равны, то – квадрат.
б) Определим площадь сечения. Для этого можно определить площадь проекции этого сечения, и косинус угла между плоскостью и основанием параллелепипеда. Сначала найдем площадь проекции. Отрежем два треугольника от основания параллелепипеда, тогда оставшееся – и есть площадь проекции (многоугольник – выделено фиолетовым цветом).
Рисунок 6 – к задаче 2
Площадь основания призмы равна 36, отрезаем треугольник : по условию, по доказанному отношению из пункта а). Следовательно,
Отрезаем треугольник : по условию, по доказанному отношению из пункта а). Следовательно,
Тогда площадь проекции равна
Теперь найдем угол наклона плоскости сечения к плоскости основания, вернее, его косинус. Нужно найти косинус угла – или любую другую тригонометрическую функцию – угла . Рассмотрим треугольник . Он прямоугольный, катет (равен высоте параллелепипеда). Длина отрезка может быть найдена из треугольника :
По ранее доказанному , .
Тогда
Площадь сечения равна
Ответ: .
Формула площади поверхности наклонного кругового цилиндра
S осн = 2 ⋅ π ⋅ r 2 S_{\text{осн}}=2\cdot\pi\cdot r^2 Sосн=2⋅π⋅r2
S бок = p ⋅ l S_{\text{бок}}=p\cdot l Sбок=p⋅l
r r r — радиус круга (основания кругового цилиндра); p p p — периметр сечения наклонного цилиндра перпендикулярно образующей; l l l — длина образующей этого цилиндра.
Пример
Найти площадь поверхности наклонного цилиндра, если периметр p p p сечения плоскости, составляющей прямой угол с образующей, равен 30 (см.), а сама образующая равна 7 (см.) Радиус окружности, лежащей в основе цилиндра в два раза меньше его образующей.
Решение:
r = l 2 r=\frac{l}{2} r=2l p = 30 p=30 p=30 l = 7 l=7 l=7
Найдем сначала радиус основания:
r = l 2 = 7 2 = 3.5 r=\frac{l}{2}=\frac{7}{2}=3.5 r=2l=27=3.5
Тогда полная площадь:
S = S осн + S бок = 2 ⋅ π ⋅ r 2 + p ⋅ l = 2 ⋅ π ⋅ 3. 5 2 + 30 ⋅ 7 ≈ 76 , 93 + 210 = 286 , 93 S=S_{\text{осн}}+S_{\text{бок}}=2\cdot\pi\cdot r^2+p\cdot l=2\cdot\pi\cdot 3.5^2+30\cdot 7\approx76,93+210=286,93 S=Sосн+Sбок=2⋅π⋅r2+p⋅l=2⋅π⋅3.52+30⋅7≈76,93+210=286,93 (см. кв.)
Ответ: 286,93 см. кв.
На сайте Студворк предусмотрено решение контрольных работ на заказ для школьников и студентов.
